<T->
          Coleo A conquista da 
          Matemtica
          Edio renovada MATEMTICA
          9 ano   

          Jos Ruy Giovanni Jr.
          Benedicto Castrucci

          Impresso Braille em 
          9 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          da 1 edio, So Paulo, 
          2009, Editora FTD

          Stima Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2012 --
<p>
          Coleo A conquista da 
          Matemtica
          Copyright (C) Jos Ruy 
          Giovanni Jnior e Benedicto Castrucci, 2009 
         
          Gerente editorial
          Silmara Sapiense Vespasiano
          Editora
          Rosa Maria Mangueira
          Coordenador de produo editorial
          Caio Leandro Rios
          Pesquisadores
          Clia Rosa e 
          Daniel Cymbalista 

          Todos os direitos reservados 
          EDITORA FTD S.A.
          Matriz: Rua Rui Barbosa, 156 -- Bela Vista -- 
          So Paulo -- SP
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          Tel.: (11) 3598-6000
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                                I
 Sumrio 

 Stima Parte

 Unidade 10

 Estudando as Relaes 
  Trigonomtricas nos 
  Tringulos :::::::::::::: 771 
 51 -- Relaes 
  trigonomtricas no 
  tringulo retngulo :::::: 773 
 Tabela de razes 
  trigonomtricas :::::::::: 792 
 Tabela importante ::::::::: 796 
 Resolvendo problemas no 
  tringulo retngulo :::::: 797 
 52 -- Estudando as 
  relaes trigonomtricas 
  em um tringulo 
  qualquer ::::::::::::::::: 820 
 Lei (ou teorema) dos 
  senos :::::::::::::::::::: 822 
 Lei (ou teorema) dos 
  cossenos ::::::::::::::::: 827 
 Retomando o que 
  aprendeu ::::::::::::::::: 849

 Unidade 11

 Estudando as reas das 
  Figuras Geomtricas 
  Planas :::::::::::::::::: 861 
 53 -- Calculando as reas 
  de algumas figuras 
  geomtricas :::::::::::::: 862 
 rea de uma regio 
  retangular (ou rea de 
  um retngulo) ::::::::::: 864  
 rea de uma regio quadrada 
  (ou rea de um 
  quadrado) ::::::::::::::: 870  
 rea de uma regio 
  triangular (ou rea de um 
  tringulo) :::::::::::::: 881 
 rea de uma regio limitada 
  por um paralelogramo (ou 
  rea do 
  paralelogramo) :::::::::: 888 
 rea de uma regio limitada 
  por um losango (ou rea 
  do losango) ::::::::::::: 890  
 rea de uma regio limitada 
  por um trapzio (ou rea 
  do trapzio) :::::::::::: 893 
<p>
                             III
 54 -- Usando a malha 
  quadriculada para calcular 
  a rea de uma figura plana 
  qualquer ::::::::::::::::: 899 
 Tratando a informao 
  A moda :::::::::::::::::: 901 
 Retomando o que 
  aprendeu ::::::::::::::::: 906
<p>
<266> 
<ta c. da mat. 9 ano>
<T+771>
 Unidade 10

 Estudando as Relaes 
  Trigonomtricas nos Tringulos
<R->

  A necessidade
de se calcular
grandes distncias,
aliada  falta de
instrumentos
adequados para esse
fim, era um grande
problema para os
estudos de Astronomia,
para a navegao e
para a agrimensura.
  Desde a Antiguidade, o cu
vem sendo usado como
mapa, calendrio e relgio.
  A palavra
Trigonometria
significa
medida
das partes
de um
tringulo.
  Trigonometria
do grego 
 *trgono*
(triangular) e
*metria* (medida).

<R+>
 _`[{trs ilustraes_`]
 1- Uma navegao em alto mar.
 2- Moa observando o cu com telescpio.
 3- Observatrio nacional.
<R->

<267>
 Quem inventou a Trigonometria?

  H indcios de que os babilnios
(habitantes da antiga 
 Mesopotmia,
atual Iraque) efetuaram estudos
rudimentares de Trigonometria.
  Mais tarde, os estudos de
Astronomia feitos por egpcios e
gregos deram grande impulso no
desenvolvimento da Trigonometria.
  A partir desses estudos,
grandes distncias puderam
ser calculadas considerando
as relaes entre as medidas
dos lados e dos ngulos de
um tringulo.
  A Trigonometria possui
aplicaes na Engenharia,
na Eletrnica, na Medicina,
na Aeronutica e tambm
na Msica.

               ::::::::::::::::::::::::

<268>
<p>
<R+>
 51 -- Relaes trigonomtricas no tringulo retngulo
<R->

 Explorando

  Observe os tringulos retngulos A{b{c e ABC.
  Os ngulos agudos de vrtices A e A so congruentes;
o mesmo ocorre com os ngulos agudos de vrtices C e C.
  Nos desenhos esto indicadas as medidas dos lados
dos tringulos, em unidades de comprimento.

<F->
             C
             *@ 
           *a _
      5 *a   _ 
       *a     _ 3   
     *a    pcc
   *a      l_-_        
 }u--------v--#            
A     4     B 

<p>
                     C
                     *@  
                   *a _
                 *a   _
               *a     _
       12,5 *a       _
           *a         _ 7,5
         *a           _ 
       *a             _    
     *a            pcc
   *a              l_-_        
 }u----------------v--#            
A        10        B 
<F+>

 Chegou a sua vez!

<R+>
 a) Comparando as razes A{bA{c e ABAC, o que voc pode concluir?
 b) Comparando as razes B{cA{c e BCAC, o que voc pode concluir?
 c) Comparando as razes B{cA{b e BCAB, o que voc pode concluir?
<R->

<p>
  No tringulo retngulo A{b{c, observe a hipotenusa
^c?B{c* e os catetos ^c?A{b* e ^c?A{c*.

<F->
                         C
                        w
                    ~^  _
                ~^      _  
            ~^          _   
        ~^           pcc 
    ~^               l_-_
 -u-------------------v--#
B                       A            
<F+>

  Se usarmos como referncia o ngulo :B, podemos
escrever:
<R+>
 o ^c?A{c*  o cateto oposto ao ngulo :B; 
 o ^c?A{b*  o cateto adjacente ao ngulo :B.
<R->
  Se usarmos como referncia o ngulo :C, podemos escrever:
<R+>
 o ^c?A{b*  o cateto oposto ao ngulo :C;
 o ^c?A{c*  o cateto adjacente ao ngulo :C.
<R->

<269>
  Vamos, agora, considerar que a figura seguinte seja uma rampa na qual destacamos o
ngulo de medida ^a (ou simplesmente ngulo alfa), chamado ngulo de subida.

<F->
                       -------
                   ~^  
               ~^       
           ~^             
       ~^               
   ~^  ^a                
-u-----------------------------
<F+>

  Sobre um dos lados da rampa marcamos os pontos B, N e Q, e por esses pontos traamos
perpendiculares sobre o outro lado.

<F->
                                                
                     Q  -------   
                 N  $^     
              B $^  _    
             $^  _   _ 
         ~^  _   _   _
     ~^  ^a  _   _   _
O-u----------#---#---#----------
              A  M  P            
<F+>
<L>
 O -- ponto de partida
 Q -- topo da rampa 

  Observando os tringulos formados, temos que:

<R+>
 tringulo O{a{b $?; tringulo O{m{n $?; tringulo O{p{q
<R->

  Podemos, ento, estabelecer as seguintes razes:
<R+>
 A{bO{b=M{nO{n=P{qO{q= 
  nmero k1
 O{aO{b=O{mO{n=O{pO{q= 
  nmero k2
 A{bO{a=M{nO{m=P{qO{p= 
  nmero k3

 o O nmero k1  chamado seno do ngulo agudo ^a e representa a razo entre a medida
do cateto oposto ao ngulo ^a e a medida da hipotenusa em qualquer tringulo retngulo,
conforme voc observa nas figuras seguintes, obtidas a partir da figura original:
<R->

<F->
                 B
                ~_  
            ~^   _
        ~^    pcc 
    ~^ ^a     l_-_
O-u-----------v--#
                  A

k1=A{bO{b

                        N
                        w
                    ~^  _
                ~^      _  
            ~^          _   
        ~^           pcc 
    ~^ ^a            l_-_
O-u------------------v--#
                         M

k1=M{nO{n

<p>
                              Q
                            ~_
                        ~^   _
                    ~^       _
                ~^           _  
            ~^               _   
        ~^                pcc 
    ~^ ^a                 l_-_
O-u-----------------------v--#
                              P

k1=P{qO{q            
<F+>

<270>
<R+>
 seno do ngulo ^a=k1=A{bO{b=
  =M{nO{n=P{qO{q
 sen.^a= medida do cateto oposto ao ngulo ^a  medida da hipotenusa

 o O nmero k2  chamado cosseno do ngulo agudo ^a e representa a razo entre a medida
do cateto adjacente ao ngulo ^a e a medida da hipotenusa em qualquer tringulo retngulo,
conforme voc observa nas figuras seguintes, obtidas a partir da figura original:
<R->

<F->
                 B
                ~_  
            ~^   _
        ~^    pcc 
    ~^ ^a     l_-_
O-u-----------v--#
                  A

k2=O{aO{b

                        N
                        w
                    ~^  _
                ~^      _  
            ~^          _   
        ~^           pcc 
    ~^ ^a            l_-_
O-u------------------v--#
                         M

k2=O{mO{n

<p>
                              Q
                            ~_
                        ~^   _
                    ~^       _
                ~^           _  
            ~^               _   
        ~^                pcc 
    ~^ ^a                 l_-_
O-u-----------------------v--#
                              P

k2=O{pO{q            
<F+>

<R+>
 cosseno do ngulo ^a=k2=O{aO{b=
  =O{mO{n=O{pO{q
 cos.^a= medida do cateto adjacente ao ngulo ^a  medida da hipotenusa

 o O nmero k3  chamado tangente do ngulo agudo ^a e representa a razo entre a medida
do cateto oposto e a medida do cateto adjacente ao ngulo ^a em qualquer tringulo
retngulo. Observe as figuras seguintes, obtidas a partir da figura original:
<R->

<F->
                 B
                ~_  
            ~^   _
        ~^    pcc 
    ~^ ^a     l_-_
O-u-----------v--#
                  A

k3=A{bO{a

                        N
                        w
                    ~^  _
                ~^      _  
            ~^          _   
        ~^           pcc 
    ~^ ^a            l_-_
O-u------------------v--#
                         M

k3=M{nO{m

<p>
                              Q
                            ~_
                        ~^   _
                    ~^       _
                ~^           _  
            ~^               _   
        ~^                pcc 
    ~^ ^a                 l_-_
O-u-----------------------v--#
                              P

k3=P{qO{p            
<F+>

<R+>
 tangente do ngulo ^a=k3=
  =A{bO{a=M{nO{m=P{qO{p
 tg.^a= medida do cateto oposto ao ngulo ^a  medida do cateto adjacente ao ngulo ^a
<R->

  Os nmeros k1, k2 e k3, que expressam, respectivamente, o seno, o cosseno e a tangente
do ngulo agudo ^a, so denominados razes trigonomtricas relativas ao ngulo ^a.

<271>
<p>
  Consideramos, ento, a seguinte situao:
  No tringulo retngulo A{b{c da figura a seguir, calcular
o valor do seno, do cosseno e da tangente do ngulo
agudo :C, considerando 3=1,73.

<F->
 B
  r.
  l  a,. 
  l      a,. 4 
2l          a,.
  pcc           a,. 
  l_-_               a,.
  v--#-------------------u".C
 A        23          
<F+>

<R+>
 sen.:C= medida do cateto oposto a :C  medida da hipotenusa =24=12=0,5
 cos.:C= medida do cateto adjacente a :C  medida da hipotenusa =234=32=
  =1,732^=0,86
 tg.:C= medida do cateto oposto a :C  medida do cateto adjacen-
<p>
  te a :C=223=13=
  =33=1,733^=0,57
<R->

 Exerccios

  Resolva em seu caderno os exerccios a seguir.
<R+>
 1. Considerando que 5=2,23, determine o
valor do seno, do cosseno e da tangente do
ngulo agudo :B no tringulo retngulo A{b{c da figura.

<F->
                      C
                     *@  
                   *a _
                 *a   _
               *a     _
          3 *a       _
           *a         _ 5
         *a           _ 
       *a             _    
     *a            pcc
   *a^b            l_-_        
 }u----------------v--#            
B         2         A 
<F+>

 2. No tringulo retngulo, determine o valor
do seno, do cosseno e da tangente do ngulo de
45, deixando a resposta na forma de radical.

<F->
                    *@  
                  *a _
                *a   _
              *a     _
      l2 *a       _
          *a         _ l
        *a           _ 
      *a             _    
    *a            pcc
  *a45          l_-_        
}u----------------v--#            
           l
<F+>

 3. No tringulo retngulo, determine o valor
de sen.35, cos.35 e tg.35. Os valores devem ser
dados na forma decimal.

<p>
<F->
     s?   
     l ^?
     l   ^?
     l     ^? 
     l       ^? 6 
3,4 l         ^?
     l           ^?
     l             ^?
     pcc            ^? 
     l_-_          35^?
     v--#----------------" 
               5
<F+>

 4. A figura seguinte  um tringulo equiltero
A{b{c, onde cada ngulo interno vale 60. Traando-se 
altura ^c?A{h*, teremos um tringulo retngulo
A{h{c.

<p>
<F->
          A
          .
         
         _ 
         _  
    l   h_    l
         _    
         pcc  
         l_-_   
B-------v--#----uC
  k       H      { 
  k        r::::::w
  k          l2 {
  <:::::::::::::::>
          l

_`[:C=60_`]
<F+>
 
 Sabendo que h=l32 (voc j conhece essa
frmula), considere o tringulo retngulo A{h{c e
determine o valor de sen.60, cos.60 e tg.60, deixando
esses valores na forma de radical.
<272>
 5. Vamos usar a mesma
figura e o mesmo tringulo
retngulo A{h{c para
determinar o valor de
sen.30, cos.30 e tg.30,
pois a altura ^c?A{h* coincide
com a bissetriz do ngulo interno
:A, no tringulo equiltero A{b{c.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 6. Determine o valor do seno, do cosseno e da
tangente do ngulo :B, no tringulo retngulo
A{b{c. D os valores na forma decimal.

<F->
  A      8      
   pccccccccccccnaB 
   l_-_        *a
   v--#      *a
   l       *a
6 l     *a 10 
   l   *a
   l *a  
   ra
   C

_`[:B=^b_`]
<F+>
<R->

 wr Histria

 Hiparco, o pai da Trigonometria

  Hiparco de Niceia viveu no sculo II a.C. e  considerado o mais eminente dos astrnomos
da Antiguidade. Cuidadoso, ele desenvolveu importantes trabalhos no observatrio
de Rodes. Creditam-se a ele feitos como a determinao do ms lunar mdio, um clculo
da inclinao do plano da rbita terrestre, e a organizao de um catlogo estelar.
  A Trigonometria na poca era baseada na relao entre um arco arbitrrio e sua
corda. Os estudos de Hiparco sobre o clculo do comprimento das cordas deram origem
 primeira tabela trigonomtrica.
  Apesar de a corda de um arco no ser o seno, uma vez conhecido o valor do seu
comprimento, pode-se calcular o seno da metade do arco.
  Veja na figura a seguir _`[no adaptada_`] como podemos calcular o seno a partir do comprimento da
corda:

<R+>
 sen.^a=A{mO{a=A{bA{c= 
  corda de 2^a2r :> corda de 2^a=2rsen.^a
<R->

  Acredita-se que uma tbua de cordas posterior foi desenvolvida pelo matemtico
Cludio Ptolomeu (c. 85-c. 165) a partir da descoberta de Hiparco.

<R+>
 _`[Foto_`]
 Legenda: Hiparco introduziu na Grcia a
diviso do crculo em 360 e props
a localizao de pontos sobre a
superfcie da Terra por meio de
latitudes e longitudes.

<273>
 Tabela de razes trigonomtricas
<R->

  Em muitos casos, para resolver problemas com tringulos retngulos  necessrio conhecer
as razes trigonomtricas dos ngulos agudos do tringulo. Como a cada ngulo
agudo est associado um nico valor para o seno, para o cosseno e para a tangente, podemos
elaborar uma tabela que nos fornea esses valores, evitando assim a necessidade de
calcul-los a toda hora.
  A tabela a seguir foi construda h sculos e nos dar os valores do seno, do cosseno e
da tangente de ngulos de 1 at 89, com aproximao at milsimos.

<R+>
 Tabela de razes trigonomtricas

 ngulo -- sen. -- cos. -- tg.
 1 -- 0,017 -- 1,000 -- 0,017
 2 -- 0,035 -- 0,999 -- 0,035
 3 -- 0,052 -- 0,999 -- 0,052
 4 -- 0,070 -- 0,998 -- 0,070
 5 -- 0,087 -- 0,996 -- 0,087
 6 -- 0,105 -- 0,995 -- 0,105
 7 -- 0,122 -- 0,993 -- 0,123
 8 -- 0,139 -- 0,990 -- 0,141
 9 -- 0,156 -- 0,988 -- 0,158
 10 -- 0,174 -- 0,985 -- 0,176
 11 -- 0,191 -- 0,982 -- 0,194
 12 -- 0,208 -- 0,978 -- 0,213
 13 -- 0,225 -- 0,974 -- 0,231
 14 -- 0,242 -- 0,970 -- 0,249
 15 -- 0,259 -- 0,966 -- 0,268
 16 -- 0,276 -- 0,961 -- 0,287
 17 -- 0,292 -- 0,956 -- 0,306
 18 -- 0,309 -- 0,951 -- 0,325
 19 -- 0,326 -- 0,946 -- 0,344
 20 -- 0,342 -- 0,940 -- 0,364
 21 -- 0,358 -- 0,934 -- 0,384
 22 -- 0,375 -- 0,927 -- 0,404
 23 -- 0,391 -- 0,921 -- 0,424
 24 -- 0,407 -- 0,914 -- 0,445
 25 -- 0,423 -- 0,906 -- 0,466
 26 -- 0,438 -- 0,899 -- 0,488
 27 -- 0,454 -- 0,891 -- 0,510
 28 -- 0,469 -- 0,883 -- 0,532
 29 -- 0,485 -- 0,875 -- 0,554
 30 -- 0,500 -- 0,866 -- 0,577 
 31 -- 0,515 -- 0,857 -- 0,601
 32 -- 0,530 -- 0,848 -- 0,625
 33 -- 0,545 -- 0,839 -- 0,649
 34 -- 0,559 -- 0,829 -- 0,675
 35 -- 0,574 -- 0,819 -- 0,700
 36 -- 0,588 -- 0,809 -- 0,727
 37 -- 0,602 -- 0,799 -- 0,754
 38 -- 0,616 -- 0,788 -- 0,781
 39 -- 0,629 -- 0,777 -- 0,810
 40 -- 0,643 -- 0,766 -- 0,839
 41 -- 0,656 -- 0,755 -- 0,869
 42 -- 0,669 -- 0,743 -- 0,900
 43 -- 0,682 -- 0,731 -- 0,933
 44 -- 0,695 -- 0,719 -- 0,966
 45 -- 0,707 -- 0,707 -- 1,000
 46 -- 0,719 -- 0,695 -- 1,036
 47 -- 0,731 -- 0,682 -- 1,072
 48 -- 0,743 -- 0,669 -- 1,111
 49 -- 0,755 -- 0,656 -- 1,150
 50 -- 0,766 -- 0,643 -- 1,192
 51 -- 0,777 -- 0,629 -- 1,235
 52 -- 0,788 -- 0,616 -- 1,280
 53 -- 0,799 -- 0,602 -- 1,327
 54 -- 0,809 -- 0,588 -- 1,376
 55 -- 0,819 -- 0,574 -- 1,428
 56 -- 0,829 -- 0,559 -- 1,483
 57 -- 0,839 -- 0,545 -- 1,540
 58 -- 0,848 -- 0,530 -- 1,600
 59 -- 0,857 -- 0,515 -- 1,664
 60 -- 0,866 -- 0,500 -- 1,732 
 61 -- 0,875 -- 0,485 -- 1,804
 62 -- 0,883 -- 0,469 -- 1,881
 63 -- 0,891 -- 0,454 -- 1,963
 64 -- 0,899 -- 0,438 -- 2,050
 65 -- 0,906 -- 0,423 -- 2,145
 66 -- 0,914 -- 0,407 -- 2,246
 67 -- 0,921 -- 0,391 -- 2,356
 68 -- 0,927 -- 0,375 -- 2,475
 69 -- 0,934 -- 0,358 -- 2,605
 70 -- 0,940 -- 0,342 -- 2,747
 71 -- 0,946 -- 0,326 -- 2,904
 72 -- 0,951 -- 0,309 -- 3,078
 73 -- 0,956 -- 0,292 -- 3,271
 74 -- 0,961 -- 0,276 -- 3,487
 75 -- 0,966 -- 0,259 -- 3,732
 76 -- 0,970 -- 0,242 -- 4,011
 77 -- 0,974 -- 0,225 -- 4,332
 78 -- 0,978 -- 0,208 -- 4,705
 79 -- 0,982 -- 0,191 -- 5,145
 80 -- 0,985 -- 0,174 -- 5,671
 81 -- 0,988 -- 0,156 -- 6,314
 82 -- 0,990 -- 0,139 -- 7,115
 83 -- 0,993 -- 0,122 -- 8,144
 84 -- 0,995 -- 0,105 -- 9,514
 85 -- 0,996 -- 0,087 -- 11,430
 86 -- 0,998 -- 0,070 -- 14,301
 87 -- 0,999 -- 0,052 -- 19,081
<p>
 88 -- 0,999 -- 0,035 -- 28,636
 89 -- 1,000 -- 0,017 -- 57,290
<R->

<274>
  Se quisermos, por exemplo, conhecer o valor de seno de 43, procuramos na tabela o
ngulo de 43 e, na coluna seno, encontraremos o valor 0,682.
  Ento, sen.43=0,682.
  As atuais calculadoras cientficas tambm nos fornecem esses valores.

 Tabela importante

  Na resoluo de alguns problemas  mais conveniente usar a tabela a seguir, cujos valores
voc j encontrou resolvendo os exerccios das pginas 785 a 789.

<R+>
 _`[Tabela adaptada em 4 colunas:  ngulo -- sen. -- cos. -- tg.
 30 -- 12 -- 32 -- 33
<p>
 45 -- 22 -- 22 -- 1
 60 -- 32 -- 12 -- 3_`]
<R->

  Observao: Neste momento estamos considerando apenas as razes trigonomtricas dos
ngulos agudos de um tringulo. Nos estudos posteriores de trigonometria haver a extenso
desse conceito para quaisquer ngulos.

<R+>
 Resolvendo problemas no tringulo retngulo
<R->

  Usando os valores do seno, do cosseno e da tangente de um ngulo agudo de um tringulo
retngulo, podemos resolver problemas como os dos exemplos a seguir.

<R+>
 1- No tringulo retngulo da figura, determinar as medidas x e y dos catetos.

<p>
<F->
                       
                    ~_
                ~^   _  
     20 cm ~^       _ x   
        ~^        pcc 
    ~^ 32       l_-_
 -u----------------v--#
            y

<F+>
 De acordo com os dados do problema, temos que:
 o 20 cm  medida da hipotenusa.
 o x  a medida do cateto oposto ao ngulo de 32.
 o y  a medida do cateto adjacente ao ngulo de 32.

 Da podemos escrever:
 sen.32=x20
 0,530=x20
 x=200,530
 x=10,6

 cos.32=y20
 0,848=y20
 y=200,848
 y=16,96

<p>
 Logo, temos: x=10,6 cm e 
  y=16,96 cm.

<275>
 2- Em um tringulo issceles, cada ngulo da base mede 71. Sabendo que a base desse
tringulo mede 8 cm, determinar a medida *h* da altura relativa  base.
  Vamos fazer um esboo do tringulo dado:

<F->
           A  
           . 
          
          _ 
          _  
          _   
         h_    
          _      
          _      
       pcccc    
  71 l_-__-_ 71
 ------v--#--#------u
B       H   4 cm  C
 <:::::::::::::::::::>
         8 cm       

 A
 
 p
 l 
 l  
 l   
hl    
 l     
 l      
 pcc    
 l_-_ 71
 v--#------u
H  4 cm  C 
<F+>

 De acordo com os dados do problema, temos que:
 o 4 cm  a medida do cateto adjacente ao ngulo de 71.
 o *h*  a medida do cateto oposto ao ngulo de 71.

 Ento, podemos escrever:
 tg.71=h4
 2,904=h4
 h=42,904
 h=11,616

<p>
 Logo, a altura *h* pedida mede 11,616 cm.

 3- Um terreno tem a forma de um trapzio retngulo, e suas
medidas esto assinaladas na figura. Calcular as medidas
x e y dos lados no paralelos desse terreno.

<F->
     D    14 m   C
      cccccccccccc 
                  _
  x               _ 
                  _ y
               pcc
 60          l_-_
---------------v--#
A      20 m      B

Considerando a figura dada, observe:

<p>
      D    14 m   C
       ccccccccccc 
       {           _
   x   {           _ 
       {           _ y
       {        pcc
  60 {        l_-_
 --------------v--#
A 6 m H          B
 <::::::::::::::::::>
         20 m

D{h=B{c=y
A{h=A{b-C{d=6 m
<F+>

 No tringulo retngulo A{h{d, temos que:
 o 6 m  a medida do cateto adjacente ao ngulo de 60.
 o x  a medida da hipotenusa.
 o y  a medida do cateto oposto ao ngulo de 60.

<276>
 Da podemos escrever:
 cos.60=6x
 12=6x
 x=26
 x=12
<L>
 tg.60=y6
 3=y6
 y=63

 Ento, os lados no paralelos desse terreno medem 12 m e 63 m.

 4- Queremos saber a largura *l* de um rio. Para isso, marcamos com estaca dois pontos, A e B,
um em cada margem, de tal modo que o ngulo no ponto A seja reto. Depois, marcamos um
ponto C, distante 8 m de A, onde fixamos o teodolito (aparelho de medir ngulos). Medimos,
ento, o ngulo de 70 no ponto C. Nessas condies, qual a largura *l* do rio?

<p>
 _`[{esquema adaptado_`]
<F->
margem         B
-------------------
               
              _
 rio          _
              _
              _
--------------#----
margem   C    A
<F+>

 Na representao matemtica do problema, que est esboada na figura a seguir, temos que:
 o *l*  a medida do cateto oposto a 70.
 o 8  a medida do cateto adjacente a 70.

<p>
<F->
          B          
           .          
                   
          _        
          _       
          _       
          _ l    
          _
          _
       pcc    
  70 l_-_   
 ------v--#  
C   8 m  A  
<F+>

 tg.70= medida do cateto oposto a 70 medida do cateto adjacente a 70 :> tg.70=l8
 Como tg.70=2,747 (conforme a tabela da pgina 792), temos:
 2,747=l8 :> l=2,7478 :> l=21,976
 Assim, a largura *l* do rio  21,976 metros.
<R->

<277>
<p>
 Exerccios

<R+>
 _`[{para os exerccios 12, 13, 15, 19 e 21, pea orientao ao professor_`]

 1. Nos tringulos retngulos a seguir, determine
as medidas indicadas. (Use: sen.65=0,91,
cos.65=0,42 e tg.65=
  =2,14.)
 a) x e y.

<F->
  A
  
  p
  l 
  l  
  l   
x l     9
  l     
  l      
  pcc    
  l_-_ 65
  v--#------u
       y
<F+>

<p>
 b) *a* e *c*. 

<F->
   C
    r.
    l  a,.
    l      a,. a
10 l          a,.
    pcc           a,.
    l_-_               a,.
    v--#-------------------u".
   A          c             B      

_`[:B=30_`]
<F+> 

 2. Sabe-se que sen.40=0,64; cos.40=0,77
e tg.40=0,84. Nessas condies, determine o
valor de x+y, considerando o tringulo retngulo
a seguir.

<p>
<F->
         x
  pccccccccccccna 
  l_-_        *a
  v--#      *a
  l       *a
y l40 *a 7
  l   *a
  l *a  
  ra
<F+>

 3. Considerando as medidas indicadas no tringulo
retngulo a seguir, determine o valor da razo ba.

<F->
                         {c 
                        ~_ 
                    ~^   _  
              a ~^       _ 
            ~^           _ b
        ~^            pcc 
    ~^                l_-_ 
 --------------------v--#
{b         123        {a
<F+>

 _`[:C=60_`]

<p>
 4. Em um tringulo retngulo, a hipotenusa
mede 50 cm, e um dos ngulos agudos mede
37. Calcule as medidas dos catetos desse tringulo.
(Use: sen.37=0,60, cos.37=0,80 e tg.37=0,75.)

 5. Considere o tringulo retngulo A{b{c da figura
a seguir. Nela est assinalado um ngulo
agudo ^a.

<F->
              C
              
            ^ _
          ^   _
    10 ^     _ 6 
      ^       _ 
    ^      pcc    
  ^        l_-_    
 ----------v--#
B     8      A  

_`[:B=^a_`]
<F+>

<p>
 De acordo com os dados da figura, calcule o valor
numrico das expresses:
 a) ?cos.^a+sen.^a*?cos.^a-
  -sen.^a*
 b) ?2tg.^a*?`(1+tg.^a`)
  `(1-tg.^a`)*

 6. A diagonal de um retngulo forma com o
maior lado desse retngulo um ngulo de 18,
conforme mostra a figura a seguir. Se a diagonal
mede 10 cm, determine o permetro do retngulo.
(Use: sen.18=0,31, cos.18=0,95 e tg.18=
  =0,32.)

<F->
               x
  pfccccccccccccccccccccpcc
  l   a,.                l_-_
  l       a,.   10      v--#
y l           a,.           _ y
  pcc            a,.       _
  l_-_            18a,.   _
  v--#--------------------u}#
               x 
<F+>

 7. Observe a figura a seguir.

<F->
                       {c
                     ~#
                 ~^ ^_ 
             ~^   ^  _      
         ~^     ^    _ x
     ~^       ^      _
 }-----------------#
{a          {d    y    {b 
 r:::::::::::::::::::::w
         300 cm
<F+> 

 _`[:A=30; :D=60_`]

 Determine a medida:
 a) x 
 b) y 
 c) do segmento ^c?A{d*

<278>
 8. Fazendo 3=1,73 determine o valor da expresso
x+y na figura a seguir.
 9. Gustavo encostou uma
escada numa parede de
sua casa de tal modo que o
topo da escada ficou a uma
altura de 3 m em relao
ao cho. Considerando que
a escada forma um ngulo
de 30 com a parede e a
distncia entre a base da
parede e a base da escada
 expressa por `(x-1`) m,
calcule o valor de x.
(Faa: 3=1,73.)
 10. Imagine um muro vertical e suponha
que, em determinado instante, a luz solar incida
sobre esse muro com uma inclinao de 60
em relao ao cho. Se a sombra projetada no
cho por esse muro, nesse instante, tem 1,2 m
de comprimento, qual  a medida da altura
desse muro? (Faa: 3=1,70.)
 11. No desenho _`[adaptado_`], a altura do poste est
representada por *h*. Calcule o valor de *h*, em
metros. (Use: sen.37=0,602, cos.37=0,799 e tg.37=0,754.)

<p>
<F->
              
            ^ _ 
          ^   _  
  10 m ^     _ h 
      ^       _  
    ^      pcc    
  ^37    l_-_   
 ----------v--#
<F+>

 12. De acordo com o esquema a seguir _`[no adaptado_`], h
dois possveis caminhos para ir do ponto A ao ponto B.
 1 caminho: Seguir ao longo do arco semicircular
de A a B. Esse percurso tem 376,8 m.
 2 caminho: Seguir em linha reta (linha verde)
de A a B.
  Qual a diferena, em metros, entre os dois caminhos?
 13. Caio est distante 40 m da base de um
obelisco de 30,4 m de altura. Os olhos de Caio
esto a x metros do plano horizontal. Observando
o esquema _`[no adaptado_`], calcule o valor de x.
(Use: sen.36=
  =0,58, cos.36=0,80 e tg.36=0,72.)
 14. Aps seu trabalho, Carolina foi de carro
ao supermercado (ponto A). Ao sair, ela percebeu
que o nvel de combustvel do carro estava
muito baixo. Ela optou em antes passar no posto
que fica na esquina de duas avenidas (ponto
B) para depois ir para casa (ponto C). Observando
o esquema _`[adaptado_`] e sabendo que pela avenida
A{c o percurso tem 18 km, quantos quilmetros
Carolina percorreu a mais indo pelas
avenidas A{b e B{c? (Faa 3=1,7.)

<p>
<F->
 A
 s?   
 l ^?
 l   ^?
 l     ^? 
 l       ^?  
 l         ^?
 pcc        ^? 
 l_-_          ^?
 v--#------------" 
B                C
<F+>

 _`[:C=30_`]

<279>
 15. Um ciclista sobe, em linha reta, uma rampa
com inclinao de 3. A altura do topo da
rampa em relao ao ponto de partida  30 metros,
de acordo com o esquema a seguir _`[no adaptado_`].
  Considerando sen.3=0,05, responda:
 a) Qual o comprimento total da rampa?
 b) Considerando a equao matemtica
tempo = distncia  velocidade mdia e sabendo que
o ciclista percorreu a rampa a uma velocidade
constante de 240 metros por minuto, quanto
tempo o ciclista levou para percorrer a rampa?

 16. Num terreno plano de forma triangular,
o lado maior mede 100 m, e o ngulo oposto a
esse lado mede 90. Se a medida do menor dos
ngulos agudos  igual  metade da medida do
outro ngulo, quanto mede o lado menor desse
terreno?
 17. Um avio decola de um ponto B sob inclinao
constante de 25 com relao  horizontal.
A 2 km de B se encontra a projeo vertical
C do ponto mais alto D de uma serra de 600 m
de altura. Sabendo que nesse instante o avio
est distante x metros do ponto D, calcule o
valor de x. (Use: sen.25=0,42, cos.25=0,91 e
tg.25=0,47.)

<F->
                  {d
                ~_
            ~^   _ 
        ~^    pcc 
    ~^        l_-_ 
 ------------v--#
{b                {a

_`[:B=25_`]
<F+>

 18. A determinao (feita por radares) da altura
de uma nuvem em relao ao solo  importante
nas previses meteorolgicas e na
orientao de avies para evitar turbulncias.
  Determine, ento, a altura das nuvens detectadas
por radares, conforme o desenho a seguir.
(Use: sen.28=0,47, cos.28=0,88 e tg.28=
  =0,53.)

<p>
<F->
                    ~_
                ~^   _ 
            ~^       _ h      
        ~^        pcc 
    ~^28        l_-_
}----------------v--#
         12 km
<F+> 

 19. Deseja-se construir uma estrada ligando
as cidades A e B, separadas por um rio de margens
paralelas, como nos mostra o esquema
a seguir _`[no adaptado_`]. 
  Sabe-se que a cidade A est distante 30 km da
margem do rio, a B est a 18 km da margem do
rio, e a ponte tem 3 km de extenso. Qual a distncia
de A a B, pela estrada, em quilmetros?
(Use: 3=
  =1,7.)
 20. Caminhando em linha reta ao longo de
uma praia, um banhista vai de um ponto A
a outro ponto B, cobrindo uma distncia de
1.200 m. Em A, ele avista um navio parado num
ponto N, de tal maneira que o ngulo :?N{a{b*  60,
e o :?N{b{a*  90. Usando 3=1,73, calcule a distncia
onde se encontra o navio do ponto:
 a) B 
 b) A

<280>
 21. A escada de um carro de bombeiros
pode estender-se a um comprimento
de 30 m, quando levantada a um ngulo
de 70. Sabe-se que a base da escada est
sobre um caminho, a uma altura de 2 m
do solo. Qual  a maior altura que essa
escada poder alcanar em relao ao
solo? (Use: sen.70=0,94; cos.70=0,34;
tg.70=2,75.)

               ::::::::::::::::::::::::

<p>
 52 -- Estudando as relaes 
  trigonomtricas em um tringulo qualquer
<R->

  Considere a seguinte situao: um navio se encontra num ponto A, distante 6 milhas de
um farol F. No mesmo instante, outro navio em B est a 15 milhas do farol F. O ngulo de viso
de um observador que se encontra no farol F e v os dois navios  60. Qual a distncia entre
os dois navios nesse instante?

<p>
 Modelo matemtico

<F->
       A     
       
   6    
          
          
F 60    
   ^?        
     ^?       
       ^?       d
         ^?     
       15 ^?    
             ^?   
               ^?   
                 ^? 
                   ^?  
                     B
<F+>

  Pelo desenho _`[no adaptado_`], podemos observar que o tringulo formado no  um tringulo retngulo
e, portanto, no podemos aplicar as relaes j conhecidas.
  Vamos, ento, estudar outras relaes, que podero ser aplicadas em um tringulo
acutngulo ou obtusngulo. Essas relaes so muito utilizadas tambm na Fsica, principalmente
nas questes de Mecnica.

<281>
 Lei (ou teorema) dos senos

  Vamos considerar o tringulo acutngulo A{b{c a seguir _`[no adaptado_`]:

  Nesse tringulo:
<R+>
 o *a*, *b* e *c* so as medidas dos lados.
 o h1  a medida da altura ^c?A{h1*.
 o h2  a medida da altura ^c?C{h2*.
<R->

  Acompanhe a demonstrao a seguir.
<R+>
 o Considere os tringulos retngulos A{b{h1 e A{c{h1:
<R->

<p>
<F->
        A     
         .     
             
        _     
        _     
   c    _h1 
        _     
     pcc     
     l_-_      
 ----v--#     
B       H1   

    A
     . 
     l^
     l  ^   
     l    ^
h1 l      ^ b
     l        ^
     pcc       ^
     l_-_         ^ 
     v--#-----------"
    H1            C  
<F+>

 Em A{b{h1, temos: sen.:B=
  =h1c :> h1=csen.:B. I
<p>
 Em A{c{h1, temos: sen.:C=
  =h1b :> h1=bsen.:C. II

  Comparando I e II, podemos escrever:

<R+>
 csen.:B=bsen.:C :> 
  csen.:C=bsen.:B. III

 o Considere os tringulos retngulos B{c{h2 e A{c{h2:
<R->

<F->
   H2
    a,.   
        a,. h2 
            a,.
 ---------------" C
B        a

      A
      a,.
          a,. b
              a,.
                  a,.
  --------------------" C
H2       h2         
<F+>

<p>
 Em B{c{h2, temos: sen.:B=
  =h2a :> h2=asen.:B. IV
 Em A{c{h2, temos: sen.:A=
  =h2b :> h2=bsen.:A. V

<282>
  Comparando IV e V, podemos escrever:

<R+>
 asen.:B=bsen.:A :> 
  asen.:A=bsen.:B. VI
<R->

  Finalmente, comparando III e VI, podemos escrever a seguinte igualdade de razes:

<R+>
 asen.:A=bsen.:B=csen.:C
<R->

  Essa igualdade denomina-se lei dos senos e  vlida para qualquer tringulo.
  Como exemplo, vamos usar essa lei para determinar a medida x indicada no tringulo
acutngulo da figura a seguir.

<p>
<F->
         A
         . 
         ^
           ^
8 cm        ^
               ^
                 ^
                   ^
                     ^
 ----------------------"
 B          x           C 

_`[:A=60; :C=45_`]
<F+>

  Pela lei dos senos, temos: 8sen.45=xsen.60
  Como sen.45=22 e sen.60=32, podemos escrever:
 8~?22*=x~?32*
 ?2x*2=?83*2

 2x=83
 x=832
 x=?832*?22*

 x=862
 x=46
<L>
 Logo, a medida x procurada  
  46 cm.

 Lei (ou teorema) dos cossenos

  Considere o tringulo acutngulo A{b{c a seguir:

<F->
         A 
         . 
        l^
        l  ^
        l    ^ 
   c    lh     ^ b 
        l        ^
     pccpcc       ^
   x l_-l_-_    y    ^
 ----v--v--#-----------"
B      H               C 
 <:::::::::::::::::::::::>
             a  
<F+>

  Nesse tringulo:
<R+>
 o *a*, *b* e *c* so as medidas dos lados.
 o *h*  a medida da altura relativa ao lado ^c?B{c*.
 o x e y so as medidas dos segmentos que a altura determina sobre o lado ^c?B{c*.

<283>
  Observe, agora:
 o No tringulo retngulo A{b{h, aplicando o teorema de 
  Pitgoras, temos:
  c2=h2+x2 :> h2=c2-
  -x2. I
 o No tringulo retngulo A{c{h, aplicando o teorema de 
  Pitgoras, temos:
  b2=h2+y2 :> h2=b2-
  -y2. II
  Comparando I e II, temos:
  c2-x2=b2-y2
  b2=c2-x2+y2
  Como y=a-x, substituindo y, temos:
  b2=c2-x2+`(a-x`)2
  b2=c2-x2+a2-2ax+x2
  b2=a2+c2-2ax. III
 o No tringulo retngulo A{b{h, temos:
  cos.:B=xc :> x=ccos.:B
  Substituindo x por ccos.:B na igualdade III, temos:
  b2=a2+c2-2a`(ccos.:B`)
  Podemos, finalmente, escrever:

 b2=a2+c2-2accos.:B
<R->

  Essa igualdade  conhecida como lei dos cossenos e  vlida para qualquer tringulo.
  Em todo tringulo, o quadrado da medida de um dos lados  igual  soma dos quadrados
das medidas dos outros dois lados menos duas vezes o produto das medidas desses
dois lados pelo cosseno do ngulo oposto ao primeiro lado. Assim, temos:

 a2=b2+c2-2bccos.:A
 b2=a2+c2-2accos.:B
 c2=a2+b2-2abcos.:C

  Observao: A lei dos senos e dos cossenos, demonstradas para tringulos acutngulos,
tambm so vlidas para tringulos obtusngulos e retngulos.
  Veja as aplicaes da lei dos cossenos na resoluo de problemas.

<R+>
 1- Determinar a medida x indicada no tringulo a seguir.

<F->
          A
          . 
          ^
            ^
              ^ 
6 cm           ^ x
                  ^
                    ^
                      ^
  ----------------------"
 B        10 cm         C 

_`[:B=60_`]
<F+>

<284>
 Aplicando a lei dos cossenos, temos:
 x2=102+62-2106
  cos.60
<p>
 Sendo cos.60=12 e substituindo na equao anterior:
 x2=100+36-12012
 x2=100+36-60
 x2=76 :> x=76
 x=219
 Logo, a medida x procurada  219 cm.

 2- O desenho a seguir representa trs ruas que
se cruzam, duas a duas, nos pontos A, B e
C. De acordo com o desenho e considerando
cos.45=0,71, qual o comprimento da avenida
representada pelo segmento ^c?A{c*?

<p>
<F->
      B
      . 
      l^
      l  ^
      l    ^ 75 m
40 m l      ^ 
      l        ^
      l          ^
      l            ^
      v--------------"
     C               A 

_`[:B=45_`]
<F+>

 Aplicando a lei dos cossenos no
tringulo, temos:
 x2=402+752-24075
  0,71
 x2=1.600+5.625-4.260
 x2=2.965 :> x=2.965
 x^=54,5
 Portanto, a avenida A{c tem, aproximadamente, 54,5 m.

 3- Determinar a medida x da diagonal maior do paralelogramo
da figura _`[no adaptada_`], dado cos.120=12.
 Aplicando a lei dos cossenos no tringulo
obtusngulo A{b{c da figura, temos:
 x2=82+62-286
  cos.120
 Como cos.120=-12, substituindo na equao, temos:
 x2=64+36-96`(-12`)
 x2=64+36+48
 x2=148 `(x>0`)
 x=148 :> x=237
 Logo, a medida x da diagonal maior desse paralelogramo  237 cm.
<R->

  Neste exemplo utilizamos o valor do cosseno
de um ngulo obtuso de 120. Nos estudos
de Trigonometria, voc ver que  possvel
determinar as razes trigonomtricas de
ngulos maiores que 90.

<285>
<p>
 Exerccios

<R+>
 _`[{para os exerccios 12 e 13, pea orientao ao professor_`]

 1. Determine a medida x indicada no tringulo
da figura.

<F->
   -------------------
    45       30^
                 ^
               ^ 
52       ^ x
           ^
         ^ 
<F+>

 2. No tringulo A{b{c da figura seguinte, as medidas
indicadas so consideradas em centmetros.
Sabendo que sen.30=12, sen.80=0,98 e
sen.70=0,94, determine as medidas *a* e *b*.

<p>
<F->
      A
      a,.
          a,. b
20           a,.
                  a,.
  --------------------"
 B         a           C 
<F+>

 _`[:A=70; :B=80; :C=30_`]

 3. Considerando que, no tringulo A{b{c da figura,
B{c=203 cm e A{b=16 cm e sabendo
que cos.30=32, determine a medida x indicada.

<p>
<F->
B
 ,.
    a,. 
        a,.
            a,.
                a,.
                    a,.
       ----------------}
      A        x        C
<F+>

 _`[:B=30_`]
 
 4. Considerando que, no tringulo A{b{c da
figura a seguir, temos a=8 cm e b=62 cm e
usando cos.45=22, determine a medida *c*.

<p>
<F->
  A
  l,.   c
  l   a,. 
  l       a, B
  l           
  l      
b l     
  l     a
  l   
  l  
  l 
  l
  ^
  C
<F+>

 _`[:C=45_`]
 
 5. Qual  o valor do cos.:N no tringulo M{n{o da figura?

<p>
<F->
              O
              
            ^ 
          ^    
     8 ^         
      ^           5 
    ^                 
  ^                    
 -------------------u
N        7         M  
<F+>

 6. No tringulo D{e{f, sabe-se que cos.:D=15. Nessas condies, determine a medida x indicada.

<F->
      D
      
       
  x      5
         
          
 ----------u
E    7    F
<F+>

 7. Trs cidades, A, B e C, se encontram nos
vrtices de um tringulo qualquer, como nos
mostra o desenho a seguir _`[adaptado_`].

<F->
         C
         a.
           a.
50 km       a.  
               a.
                 a.
    ---------------u
   A     80 km    B
<F+>

 _`[:A=60_`]

 As distncias em linha reta entre A e B e entre
A e C esto assinaladas no desenho. Qual a distncia,
em linha reta e em quilmetros, entre
as cidades B e C?
 8. Trs ilhas, A, B e C, aparecem em um mapa
com a mesma disposio da figura a seguir. Sabendo
que nesse mapa 1 cm equivale a 0,1 km
no real, qual a distncia real, em quil-
<p>
  metros, entre as ilhas A e B? (Faa 2=1,4.)

<F->
B
 ?
  ^?
    ^?
      ^?
        ^?
          ^?
            ^?
              ^?
                ^?
                  ^?
           ---------u
          A 12 cm  C
<F+>

 _`[:B=30; :C=45_`]
 
<286>
 9. So cada vez mais frequentes construes
de praas cujos brinquedos so montados com
materiais rsticos.
  A figura a seguir _`[adaptada_`] mostra um brinquedo simples que proporciona  crianada excelente atividade
fsica.

<F->
             A
            ^a.
          ^    a.
        ^        a.
      ^            a.
    ^                a.   
  ^                    a.
 ------------------------u
B                        C
<F+>

 Sabendo que as distncias A{b e A{c so iguais a
2 m, e o ngulo :?B{a{c* corresponde a 120, calcule
a distncia de B a C. (Faa: cos.120=-12 e 3=1,73.)
 10. O desenho seguinte nos mostra trs
pontos, A, B e C, ligados entre si pelas retas ^c?A{b*,
^c?A{c* e ^c?B{c*. Sabendo que ^c?A{c* tem 24 cm, e ^c?A{b* tem
30 cm, determine, em centmetros, o comprimento
de ^c?B{c*. (Faa: 21=4,58.)

<p>
<F->
     C
     
      
       
        
 --------u
A        B
<F+>

 _`[:A=60_`]

 11. Um navio est no ponto S, distante
5 km de um farol F. Ele parte de S e navega
na direo Leste, chegando ao ponto T aps
30 minutos.

<F->
      S                  T
       cccccccccccccccccmf 
                    ~^
                ~^
            ~^ 
        ~^
    ~^
 ~^
F

_`[:F=33; :T=12_`]
<F+>

 Observando o esquema anterior, calcule:
 a) a distncia do ponto S ao ponto T.
 b) a velocidade mdia do navio nesse percurso, em quilmetros por hora.

 12. Numa fazenda, o galpo fica 50 m distante
da casa. Considerando que x e y so, respectivamente,
as distncias da casa e do galpo
ao transformador de energia, conforme
mostra a figura _`[no adaptada_`], calcule as medidas x e y indicadas.
  (Use: sen.30=12, sen.78=0,98 e sen.72=
  =0,95.)
 13. Na figura _`[no adaptada_`], a reta *t*  tangente
 circunferncia de centro O. Sabendo que
A{b=103 cm, determine a medida da corda
^c?B{c* da figura. Para o ngulo de 70, use a
tabela trigonomtrica com duas casas decimais.
<R->

<287>
 Brasil Real

 wr Turismo 
  Geografia

  A Baa de Guanabara constitui a segunda maior baa, em extenso, do litoral brasileiro, com uma
rea de aproximadamente 380 km. A primeira  a Baa de Todos os Santos, em Salvador, Bahia.
  No Morro do Corcovado, de braos abertos para a Baa de Guanabara, est o mais significativo
cone da cidade do Rio de 
Janeiro: a esttua do Cristo Redentor.

<R+>
 _`[Foto 1: Baa de Guanabara_`]
 Legenda: Habitada por diversos grupos
indgenas, a Baa de Guanabara
foi descoberta por uma expedio
exploradora portuguesa, em
1 de janeiro de 1502.

<p>
 _`[Foto 2: Esttua do Cristo Redentor_`]
<R->

  Veja alguns dados sobre a esttua e sobre os elementos
que favorecem a chegada dos visitantes
perto dela:
<R+>
 o Altura da esttua =30 m.
 o Altura do pedestal =8 m.
 o Nmero de escadas rolantes: 2 para subir e 2 para descer.
 o Comprimento de cada escada rolante =16 m.
 o Inclinao de cada escada rolante =30.
 o Nmero de elevadores: 3.

 Fonte: ~,www.corcovado.org.br~, 
  Acesso em: 8 fev. 2009.
<R->

  Utilize a tabela trigonomtrica a seguir, quando necessrio, para resolver as questes seguintes.

<p>
 !::::::::::::::::::::::::::
 l Medida do _ sen.  _  tg.  _
 l   ngulo   _       _       _
 r::::::::::::w:::::::w:::::::w
 l 15       _ 0,26 _ 0,27 _
 l 16       _ 0,28 _ 0,29 _
 l 17       _ 0,29 _ 0,31 _
 l 18       _ 0,31 _ 0,33 _
 l ...        _ ...   _ ...   _
 l 59       _ 0,85 _ 1,66 _
 l 60       _ 0,86 _ 1,73 _
 l 61       _ 0,87 _ 1,81 _
 l 62       _ 0,88 _ 1,88 _
 l 63       _ 0,89 _ 1,96 _
 h::::::::::::j:::::::j:::::::j

<288>
<R+>
 1. Quantos metros de altura se eleva uma pessoa que sobe uma das escadas rolantes de acesso
ao monumento?
 2. Um turista com 1,80 m de altura, que se coloca a 20 m do pedestal da esttua, v o 
  Cristo sob um ngulo ^a de quantos graus?
 3. O cume do Morro do 
  Corcovado, onde est assentado o pedestal do Cristo Redentor, se
encontra a uma altitude de 710 m em relao ao nvel do mar. Desprezando a altura de um
observador, para que ele veja esse morro e o Cristo sob um ngulo de 30, estando no nvel do
mar, ele deve se colocar a uma distncia *d* de quantos metros, aproximadamente?
  (Use 3=1,73.)

<289>
 4. _`[Use a calculadora_`] Observe no esquema as cidades de
Recife e Natal, de onde partem avies e barcos com destino  ilha Fernando de Noronha.

 Distncias aproximadas:
 o Natal a Fernando de Noronha: 360 km.
 o Recife a Fernando de 
  Noronha: 540 km.

 Fonte: ~,www.noronha.pe.gov.br~, 
  Acesso em: 8 fev. 2009.

<p>
 Considere os pontos N, R e F para designar, respectivamente,
Natal, Recife e Fernando de Noronha.
Sabendo que o ngulo :?N{f{r*  igual a 30,
calcule a medida aproximada do segmento N{r,
distncia entre as cidades de Natal e Recife.
  (Use: 3=1,73.)

 _`[{mapa: "Localizao de Recife, Natal e Fernando de Noronha". 
Uma linha vermelha liga as cidades de Recife, Natal  ilha 
  Fernando de Noronha, formando um tringulo_`]

 Fonte: ~,www.ibge.gov.br~,
  Acesso em: 8 fev. 2009.

<p>
 Retomando o que aprendeu

 _`[Para os exerccios a seguir, pea orientao ao professor_`]
<R->

  Responda s questes em seu caderno.
<R+>
 1. Uma rampa lisa _`[no adaptada_`] com 10 m de comprimento
faz ngulo de 15 com o plano horizontal. Uma
pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente
a quantos metros? (Use: sen.15=0,26, cos.15=
  =0,97 e tg.15=0,27.)
 a) 1,6 m 
 b) 1,8 m 
 c) 2,4 m 
 d) 2,6 m 
 e) 2,8 m

 2. Os lados de um tringulo acutngulo A{b{c
medem 4 cm, 5 cm e 6 cm. O cosseno do maior
ngulo desse tringulo vale:
<p>
 a) 23
 b) 18
 c) 56
 d) 32
 e) 45

 3. Na figura _`[no adaptada_`], x e y valem, respectivamente:
 a) 2 e 6.
 b) 6 e 2.
 c) 3 e 6.
 d) 2 e 3.
 e) 2 e 5.

 4. De acordo com o esquema a seguir _`[adaptado_`], qual  a largura *l* do rio?
  (Use: sen.53=0,80, cos.53=0,60 e tg.53=
  =1,32.)

<p>
<F->
 u
 l
 l   
 l      
 l    
 l      
ll      
 l        
 l       
 l        
 l         
 pcc       
 l_-_    53
 v--v---------u
     50 m
<F+>

 a) 56 m
 b) 58 m 
 c) 66 m
 d) 68 m
 e) 70 m

 5. No tringulo A{b{c da figura, suponha que
as medidas indicadas estejam em centmetros.
<p>
  Sabendo que sen.40=0,64, sen.64=0,90 e
sen.76=0,97, determine o valor de a+b.

<F->
              A
              
            ^ 
          ^    
    18 ^        b  
      ^            
    ^                 
  ^                    
 -------------------u
B        a          C  
<F+>

 _`[:A=76; :B=40; :C=64_`]

 a) 22,2
 b) 24,2
 c) 26,2
 d) 28,2
 e) 32,2

<290>
 6. Imagine um muro vertical e suponha que a
luz solar incida sobre esse muro com uma inclinao
de 60 em relao ao cho. Se o muro
tem 2,50 m de altura, qual ser o comprimento
da sombra projetada sobre o cho por esse muro, nesse instante? (Use: 3=1,7.)
 a) 1,37 m 
 b) 1,47 m
 c) 1,48 m 
 d) 1,51 m
 e) 1,57 m

 7. Em um centro comercial, a escada rolante
que liga dois andares tem uma inclinao de
30. Sendo 12 metros o comprimento dessa escada
rolante, a altura de cada andar :
 a) 4 m 
 b) 5 m 
 c) 6 m 
 d) 7 m
 e) 8 m

 8. Duas rvores localizam-se em lados opostos
de um lago. O ngulo entre as linhas de viso
de um observador que as v  120, e o ngulo
formado por uma dessas linhas e a linha
que une as rvores  45. Sabendo que uma das
rvores est a 100 metros do observador, determine
a distncia *d* entre as rvores.
  (Use: sen.120=32, sen.45=22, 6=2,44.)
 a) 122 m 
 b) 112 m 
 c) 102 m 
 d) 132 m
 e) 121 m

 9. Um ponto P pertence a um dos lados de um
ngulo de 60 e dista 2,8 cm do vrtice. Qual  a
distncia desse ponto  bissetriz do ngulo?
 a) 1,2 m
 b) 1,3 m
 c) 1,5 m
 d) 1,6 m
 e) 1,4 m

 10. Em um losango, cada lado mede 6 cm, e
um dos seus ngulos internos mede 120. Fazendo
cos.120=-12 e sen.120=
  =32, a diagonal
maior desse losango mede:
 a) 62 cm 
 b) 63 cm 
 c) 36 cm 
 d) 66 cm
 e) 65 cm

 11. A figura _`[no adaptada_`] mostra o tringulo A{b{c inscrito
numa semicircunferncia de raio *r*. Determine o valor de *r*.
 a) 8 cm
 b) 9 cm
 c) 10 cm
 d) 12 cm
 e) 14 cm

 12. Um navio se desloca, em linha reta, de
um ponto A para um ponto B, percorrendo
15 milhas. No ponto B, sob um ngulo de 60, o
navio muda de rumo e, continuando em linha
reta, atinge um ponto C distante 12 milhas do
ponto B. Qual a distncia *d*, em linha reta, do
ponto C ao ponto A? (Use: 21=4,58.)
 a) 12,74 milhas.
 b) 13,74 milhas.
 c) 13,76 milhas.
 d) 14,74 milhas.
 e) 16,74 milhas.

 13. Uma bola rola sobre uma tbua de 2 metros
de comprimento, conforme nos mostra a
figura 
  _`[no adaptada_`]. Essa tbua est inclinada 20 em
relao  horizontal e se apoia sobre uma haste,
representada, no caso, pelo segmento ^c?A{c*.
Qual  a altura dessa haste?
  (Use: sen.20=0,34 e cos.20=0,94.)
 a) 0,65 m 
 b) 0,66 m
 c) 0,68 m
 d) 0,70 m
 e) 0,72 m

<291>
<p>
 14. Na figura _`[no adaptada_`] so dados: tg.^a=0,5 e tg.^b=1,5. Se d=40 cm, qual  o valor de h+x?
 a) 30 cm 
 b) 20 cm 
 c) 70 cm
 d) 60 cm
 e) 50 cm

 15. Um terreno tem o formato da figura _`[no adaptada_`],
que  um quadriltero A{b{c{d. Sabendo que
a rea do tringulo retngulo C{d{e  dada por
?C{eD{e*2, determine a rea desse terreno.
  (Use: 3=1,7.)
 a) 6.600 m2
 b) 6.630 m2
 c) 6.660 m2
 d) 6.680 m2
 e) 6.690 m2

 16. Um mvel parte de um ponto A e segue
numa direo :,?A{b*, que forma com a semirreta
:,?A{c* um ngulo de 30. Sabe-se que o mvel
caminha a uma velocidade constante de
50 km/h.
  Aps 3 horas de percurso, a que distncia o mvel
se encontra da semirreta :,?A{c*?
 a) 65 km 
 b) 70 km 
 c) 72 km 
 d) 75 km
 e) 80 km

 17. Um avio voa em linha reta a 10 km de altura
em relao a um observador P, situado no
solo. Em A, o avio  visto sob um ngulo de 60 e
em B, sob um ngulo de 30.
  Qual  a distncia percorrida pelo avio de A a B?
 a) 2033 km 
 b) 203 km  
 c) 2063 km
 d) 206 km
 e) 2023 km

<p>
 18. Num tringulo A{b{c, o ngulo :A mede 60,
e o lado oposto mede 7 cm. Se um dos lados adjacentes
ao ngulo :A mede 3 cm, qual a medida
do outro lado do tringulo?

<F->
   {a
   s~
   l   ^~
   l       ^~
3 l           ^~ 
   l               ^~
   l                   ^~
   v-----------------------u"
  {b          7            {c

_`[:A=60_`]
<F+>

 a) 12 cm 
 b) 11 cm 
 c) 16 cm 
 d) 10 cm
 e) 8 cm

<p>
 19. Calcule a medida x da diagonal menor do
paralelogramo A{b{c{d da figura.

<F->
        D                  C
         mcccccccccccccccccm
          a.              
            a.           
5 cm         a.x       
                a.     
    60          a.  
   -----------------u
  A      8 cm       B
<F+>

 a) 6 cm 
 b) 7 cm 
 c) 5 cm 
 d) 10 cm
 e) 9 cm

               oooooooooooo

<292>
<p>
 Unidade 11

 Estudando as reas das Figuras Geomtricas Planas
<R->

 A histria  a seguinte...

  ... vem dos tempos mais remotos
a necessidade de se determinar a
medida de uma superfcie (rea).
  No Egito antigo, por exemplo, os
agricultores das margens do Rio Nilo
pagavam ao fara um imposto pelo
uso da terra, que era proporcional 
superfcie da terra cultivada.
  Hoje, pagamos um imposto territorial
urbano ou rural, cujo valor 
proporcional, dentre outros critrios, 
rea do terreno que possumos.

<p>
<R+>
 _`[{foto_`]
 Legenda: Pintura egpcia mostrando pessoas medindo um campo por meio de uma corda.

 Fonte: ~,http:portal.mec.gov.~
  br~, Acesso em: 9 fev. 2009.
<R->

 Esta  fcil!

  Qual destas figuras voc acha que ocupa a maior rea?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::

<293>
<R+>
 53 -- Calculando as reas de 
  algumas figuras geomtricas
<R->

 Explorando

  O tangram  um conhecido quebra-cabea chins. Usando as 7 peas que o compem  possvel criar diferentes figuras.
  Observe o modelo _`[no adaptado_`] e construa um tangram
a partir de um quadriculado com 16 quadrados,
cada um com 1 cm de lado.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 Chegou a sua vez!

<R+>
 _`[{para os exerccios a seguir, pea orientao ao professor_`]

 1. No modelo do tangram, cada quadradinho representa 1 cm2.
  Calcule, em centmetros quadrados, a rea do:
 a) tringulo maior. 
 b) quadrado. 
 c) tringulo mdio. 
 d) tringulo menor.
 e) paralelogramo.

<p>
 2. Determine, em centmetros quadrados, a rea do:
 a) quadrado formado pelos 2 tringulos maiores.
 b) tringulo formado pelos 2 tringulos menores e pelo tringulo mdio.

 3. Das figuras a seguir _`[no adaptadas_`], quais tm a mesma rea?

<294>
 rea de uma regio retangular (ou rea de um retngulo)
<R->

  No jardim de sua casa, Zildo quer fazer um gramado retangular de 6 m por 4 m. De
quantas placas quadradas de grama, com lados de 1 m, ele vai precisar?
  Zildo desenhou um esquema do gramado e pensou: "Cabem 6 fileiras, cada uma com 4 placas quadradas de grama."

<p>
<F->
     6 placas
!::::::::::::
l  _  _  _  _  _  _
r::w::w::w::w::w::w
l  _  _  _  _  _  _
r::w::w::w::w::w::w 4 placas
l  _  _  _  _  _  _
r::w::w::w::w::w::w
l  _  _  _  _  _  _
h::j::j::j::j::j::j
<F+>

  Ento, ao todo cabem 24 (64) placas.
  Em um retngulo,  costume chamar um dos lados de
comprimento (ou base) e o outro de largura (ou altura).
  No retngulo, indicamos por:
<R+>
 o *b* o comprimento ou medida da base.
 o *h* a largura ou medida da altura.
<R->
  Temos: rea do retngulo =bh

<p>
<F->
pccccccccccccc
l             _
l             _ h
l             _
v-------------#
       b
<F+>

<R+>
 Exerccios

 _`[{para os exerccios a seguir, pea orientao ao professor_`]

 1. Um terreno foi dividido em dois lotes (I e II), como nos
mostra a figura _`[no adaptada_`], sendo as medidas indicadas em metros.
 a) Qual  a rea de cada lote?
 b) Qual  a rea total do terreno?

 2. A figura _`[no adaptada_`] representa um terreno, e as medidas esto expressas em metros. Qual  a rea desse terreno?
<295>
 3. Leia este anncio:

<p>
 !::::::::::::::::::::::::::::::::
 l        10 vagas para          _
 l         VENDEDORES           _
 l      Fbrica de LONAS       _
 l      Vendas no Atacado       _ 
 l No  necessrio experincia! _
 l   Salrio: R$300,00 fixo    _
 l    + comisso de R$0,50      _
 l      por m2 vendido.         _
 h::::::::::::::::::::::::::::::::j

 No teste de seleo para essas vagas, o candidato
deveria calcular o salrio de um funcionrio
que vendeu 500 m de lona com largura de
1,40 m. Calcule, voc tambm, o salrio desse
funcionrio.
 4. Determine a rea da figura retangular, sendo:

<p>
<F->
  pmccccccccccc
  l a.         _
  l   a.       _
x l     a.     _ 
  p       a.   _
  l     37a. _
  v-----------#
       5 cm         
<F+>

 o sen.37=0,602
 o cos.37=0,799
 o tg.37=0,754

 5. Use o teorema de Pitgoras para determinar
a medida x indicada no retngulo A{b{c{d da
figura _`[no adaptada_`]. Em seguida, calcule a rea do retngulo
sabendo que as medidas so dadas em centmetros.
 6. As razes da equao x2-15x+26=0 so
as medidas, em centmetros, dos lados de uma
regio retangular. Sem resolver a equao, determine
a rea da regio retangular.
<p>
 7. No retngulo representado pela figura _`[no adaptada_`], a
perpendicular traada de um vrtice a uma das
diagonais determina, nessa diagonal, segmentos de 64 cm e 36 cm. Qual  a rea desse retngulo?
 8. Em toda a extenso de um muro de
18,25 m de comprimento, sero aplicadas duas
faixas de ladrilhos, paralelas entre si. A primeira
faixa ter 1,25 m de altura e a segunda, 0,75 m.
Cada ladrilho ocupa uma rea de 0,0625 m2.
Quantos ladrilhos sero colocados ao todo nesse
muro?
 9. Em uma rea reservada para o plantio de
eucaliptos, o espaamento das mudas  dispostas
em fileiras  deve ser de 2,5 m, e a plantao
dever iniciar a uma distncia de 1 m das extremidades
do terreno.
  As medidas dos lados do terreno retangular
onde sero plantados os eucaliptos so dadas,
em metros, por `(x+4`) e `(x-1`), e a rea do terreno
 594 m2. Quantos eucaliptos podem ser
plantados no comprimento e quantos podem
ser plantados na largura desse terreno? 

 rea de uma regio quadrada 
  (ou rea de um quadrado)
<R->

  Sendo *l* a medida do lado de um quadrado, temos:

<F->
          l
   pccccccccpcc
   l_-_      l_-_
   v--#      v--#
   l            _ 
 l l            _ l
   l            _
   pcc      pcc
   l_-_      l_-_
   v--#------v--#
          l
<F+>

 rea do quadrado =l2

<296>
<p>
 Exerccios

<R+>
 _`[{para os exerccios 1, 7, 9 e 10, pea orientao ao 
  professor_`]

 1. Aplique o teorema de 
  Pitgoras para determinar
a medida x do lado do quadrado destacado
na figura. Em seguida, determine a rea
desse quadrado, sabendo que as medidas indicadas
so dadas em centmetros.
 2. Uma parede foi revestida com azulejos
quadrados de 15 cm de lado. Sabendo que foram
colocadas 20 fileiras de azulejos, e que
em cada fileira h 40 azulejos, quantos metros
quadrados tem a rea revestida?
 3. Um nmero natural x  20 unidades menor
que o seu quadrado. Se esse nmero representa
a medida do lado de um quadrado, calcule a
rea desse quadrado.
<p>
 4. Um quadrado e um retngulo tm reas
iguais. Os lados do retngulo so expressos por
dois nmeros naturais consecutivos, enquanto
o quadrado tem 25 cm de lado. Qual  o permetro
desse retngulo?
 5. Uma regio retangular, cujo lado menor
mede 3 m, foi totalmente recoberta por 1.200
pisos quadrados iguais, cada um com lado
15 cm. Quanto mede o maior lado dessa regio
retangular?
 6. Na figura, A{b{c{d  um quadrado, e M  o
ponto mdio do lado ^c?A{b*. Determine a medida
x do lado, o permetro e a rea desse quadrado,
fazendo 5=2,23.

<p>
<F->
D      x     A
 pcccccccccccc
 l            _
 l            _
 l            _ 
xl            _M 
 l     10 ~^_ 
 l     ~^ pcc
 l ~^     l_-_
 vu--------v--#
C            B
<F+>

 7. Na figura _`[no adaptada_`], as medidas
indicadas so dadas
em centmetros. Determine
a rea do quadrado
A{b{d{e.
 8. A rea do retngulo A{b{c{d  91 cm2. Qual 
a rea do quadrado na figura?

<p>
<F->
 D                C
  pcccccccccccccccc  
  l                _ _ 3 cm
  l                _ #
  l          pccccc     
  l          l     { 
  l          l     {
  v----------v.....
Ar::::::::::w     B
     9 cm
<F+>

 9. Uma metalrgica utiliza chapas de ao
quadradas de 1 m de lado para recortar quadrados
de 30 cm de lado.
Ao sair da mquina,
da chapa original sobra
uma parte que  reaproveitada
posteriormente.
Quantos centmetros
quadrados
de cada chapa
so reaproveitados?

 10. Responda em seu
caderno.
(Saresp) A aresta de um
cubo mede 2 m. Qual 
a rea total da superfcie
desse cubo?
 a) 24 m2 
 b) 20 m2 
<p>
 c) 18 m2 
 d) 16 m

 11. Responda em seu caderno.
(Vunesp-SP) Para ladrilhar uma sala so necessrias
exatamente 400 peas iguais de cermica
na forma de um quadrado. Sabendo que a
rea da sala  36 m2, determine:
 a) a rea de cada pea, em metros quadrados.
 b) o permetro de cada pea, em metros.

<297>
 Brasil Real

 wr Esportes
  Geografia

 1. Para voc se divertir com os amigos jogando futebol, no precisa muito: basta uma bola e
um campo improvisado na pracinha, na rua sem movimento ou na praia. J o campo de futebol
profissional  construdo segundo regras e dimenses bem definidas.

 _`[{desenho de um campo de futebol destacando a grande rea_`]
 Legenda: O comprimento do campo pode variar de um mnimo de 90 m at um mximo de 120 m. A largura pode variar entre 45 m e 90 m.
<R->

 Medidas oficiais da grande rea

<F->
  16,5 m  7,3 m  16,5 m
 <:::::::><::::::><:::::::>
 pccccccccpcccccccccccccc 
 l        l      _        _
 l        v------#        _ 
 l                        _16,5 m     
 l                        _ 
 l                        _
 v------------------------#
 <::::::::::::::::::::::::>
   `(16,5+7,3+16,5`) m       
<F+>

  Independentemente das dimenses do campo, a
distncia entre as traves verticais de um mesmo gol
 de 7,3 m, e a grande rea do campo, dentro da
qual ficam o goleiro e as traves, tem as medidas
definidas.

<R+>
 Fonte: ~,www.inmetro.gov.br~,
  Acesso em: 9 fev. 2009.

 _`[{duas fotos_`]
 Legenda 1: O campo de futebol do estdio do Maracan, no Rio de Janeiro, mede 110 m75 m.
 Legenda 2: O campo de futebol do estdio Santiago Bernabeu, em Madri, mede 106 m76 m.
<R->

  Qual , em metros quadrados, a rea:
<R+>
 a) do campo do estdio do 
  Maracan?
 b) do campo do estdio Santiago Bernabeu?
 c) da grande rea de um campo de futebol oficial?

<298>
<p>
 2. Como voc j sabe, o Brasil  dividido em 5 regies: Norte, Centro-Oeste,
Nordeste, Sudeste e Sul. O mapa a seguir mostra a rea, em km2, de cada uma dessas regies.

 _`[Mapa: "rea das regies brasileiras". Regio Norte: 3.853.327,229 km2; Regio Centro-Oeste: 1.606.371,505 km2;
Regio Nordeste: 1.554.257,004 km2; Regio Sudeste: 924.511,292 km2; Regio Sul: 576.409,569 km2_`]

 Fonte: ~,www.ibge.gov.br~,
  Acesso em: 15 jan. 2009.

 a) Sabendo que a rea ocupada pelo territrio
brasileiro  8.514.876,599 km2, use uma
calculadora e calcule, com aproximao de
duas casas decimais, quantos por cento a rea
de cada regio representa em relao  rea
total ocupada pelo territrio brasileiro.
 o Regio Norte.
 o Regio Centro-Oeste.
 o Regio Nordeste.
 o Regio Sudeste.
 o Regio Sul.
 b) O estado onde voc mora pertence a qual
regio?
 c) Pesquise a rea, em km2, do seu estado e calcule
quantos por cento essa rea representa
em relao  rea da regio onde ele se localiza.

 Desafios!

 _`[{para os exerccios 2 e 3, pea orientao ao professor_`]
<R->

  Convide um amigo e resolvam em seus cadernos os desafios fazendo de conta que esto prestando um vestibular!

<R+>
 1. (Vunesp-SP) O menor pas do mundo em
extenso  o estado do Vaticano, com uma rea
de 0,4 km2. Se o territrio do Vaticano tivesse a
forma de um quadrado, ento a medida de seus
lados estaria entre:
 a) 200 m e 201 m. 
 b) 220 m e 221 m. 
 c) 401 m e 402 m.
 d) 632 m e 633 m. 
 e) 802 m e 803 m.

 2. (Unicamp-SP) Uma folha retangular de cartolina
mede 35 cm de largura por 75 cm de
comprimento. Dos quatro cantos da folha so
cortados quatro quadrados iguais, sendo que o
lado de cada um desses quadrados mede x cm
de comprimento.
 a) Calcule a rea do retngulo inicial.
 b) Calcule x, de modo que a rea da figura obtida, aps o corte dos quatro cantos, seja igual a 1.725 cm2.
 
 3. (Vunesp-SP) O mosaico
da figura _`[no adaptada_`] foi desenhado em
papel quadriculado 11. A
razo entre a rea da parte
escura e a rea da parte clara,
na regio compreendida pelo
quadrado A{b{c{d,  igual a:
 a) 12
 b) 13
 c) 35
 d) 57
 e) 58

<299>
 rea de uma regio triangular (ou rea de um tringulo)
<R->

  Observe as figuras _`[no adaptadas_`]:
  Voc pode notar que, em qualquer uma das figuras, a rea do tringulo A{b{c  igual  metade da rea do retngulo.

<p>
<F->
                C
                 . 
               .al
             .a  l 
           .a    l  
         .a     hl    
       .a        l         
     .a       pccpcc  
   .a         l_-l_-_   
 "u-----------v--v--#----u
A          b            B              
<F+>

  Assim, de modo geral:
<R+>
 o b= medida da base ^c?A{b*.
 o h= medida da altura relativa ao lado ^c?A{b*.
<R->

 rea do tringulo =?bh*2

  Podemos considerar como base, nesse caso, qualquer lado do tringulo; a altura a ser
considerada ser a correspondente a esse lado.
  No caso particular dos tringulos retngulos, temos:

<p>
<F->
                       {c 
                    ~^_ 
                ~^    _  
            ~^        _ 
        ~^         pcc cateto
    ~^             l_-_ 
 -----------------v--#
{b       cateto        {a
<F+>

<R+>
 rea = produto das medidas dos 
  catetos 2
<R->

<300>
<R+>
 Exerccios

 _`[{para os exerccios a seguir, pea orientao ao professor_`]

 1. Determine a medida x do cateto A{b
do tringulo retngulo da figura _`[no adaptada_`].
Em seguida, calcule a rea
desse tringulo.
 2. No tringulo issceles a seguir,
temos dois lados congruentes de
20 cm e o terceiro lado de 24
cm. Use o teorema de Pitgoras
para calcular a medida
*h* da altura relativa  base
e calcule, em seguida, a
rea do tringulo A{b{c.

<F->
         A 
         . 
        l
        l 
        l  
        lh  
        l    
     pccpcc  
     l_-l_-_   
 ----v--v--#----u
 B              C 
<F+>

 3. Um retalho de tecido tem a forma e as medidas
indicadas na figura _`[no adaptada_`]. Qual  a rea desse
retalho?
 4. Qual  a rea de um tringulo retngulo
cujas medidas, em centmetros, esto indicadas
na figura _`[no adaptada_`]?
 5. Calcule a medida *h* da altura do tringulo
equiltero a seguir. Depois, calcule a rea desse
tringulo _`[no adaptado_`]. (Considere: 3=
  =1,73.)
 6. Um quadriltero de zinco foi recortado de
acordo com a figura _`[no adaptada_`] e as medidas nela indicadas.
Sabendo que as medidas esto em centmetros,
determine a rea desse quadriltero.
 7. No tringulo retngulo _`[no adaptado_`], determine
as medidas x e y dos catetos e, depois, a rea do
tringulo A{b{c (as medidas na figura so dadas
em centmetros).
 8. Utilize as razes trigonomtricas e calcule
a medida *h* indicada na figura _`[no adaptada_`]. Em seguida, determine
a rea do tringulo A{b{c.
 9. Os pontos O, A, B, C, D, E e F esto representados
geometricamente em um plano cartesiano
e foram ligados por meio de segmentos de
reta, obtendo-se, assim, uma regio limitada do
plano (parte colorida de verde da figura) _`[no adaptada_`].
  Se a unidade de medida  dada em centmetros,
qual  a rea dessa regio em cm2?

<301>
 10. A rea de plantio de cana-
  -de-acar
de uma fazenda tem o formato e as medidas indicadas
na figura _`[no adaptada_`]. No corte, cada trabalhador
 capaz de trabalhar em 0,001 km2 por dia, enquanto
uma colheitadeira mecnica colhe, por
dia, uma rea correspondente a 0,06 km2.
  Em quantos dias se faria a colheita total se:
 a) fossem contratados 300 trabalhadores para essa tarefa?
 b) fossem usadas 20 colheitadeiras mecnicas? 
 
 11. Um terreno tem a forma do quadriltero
A{b{c{d _`[no adaptado_`]. Feitas algumas medies nesse
terreno, foram obtidas as medidas assinaladas,
em metros. Determine a rea desse terreno.

 Desafios!

 1. Uma das maneiras de se calcular a rea de um tringulo qualquer, quando so conhecidas as
medidas *a*, *b*, *c* dos lados desse tringulo,  aplicando a frmula de Heron, matemtico grego que
viveu em Alexandria, no sculo I a.C.

 rea =?p`(p-a`)`(p-b`)`(p-c`)*, sendo
 p=?a+b+c*2 :> o semipermetro do tringulo
 *a*, *b*, *c* :> as medidas dos lados do tringulo

 Use a frmula de Heron para calcular a rea do tringulo cujos lados medem:
 a) 40 cm, 30 cm e 20 cm. 
 b) 40 cm, 50 cm e 60 cm.

<p>
 2. Use papel quadriculado para reproduzir esta figura _`[no adaptada_`]:
  Considerando que cada quadradinho da malha tem rea igual a 1 unidade quadrada,
qual  a rea da regio da figura colorida de verde?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 rea de uma regio limitada por um paralelogramo (ou rea do paralelogramo)
<R->

  A figura a seguir representa um paralelogramo A{b{c{d.

<p>
<F->
       D                C 
       pccccccccccccccccm
       l               
       lh             
       l              
    pccpcc          
    l_-l_-_        
 ---v--v--#-------
A     H          B 
 r:::::::::::::::::w
          b
<F+>

  Nesse paralelogramo:
<R+>
 o *b*  a medida da base.
 o *h*  a medida da altura.
<R->

<302>
  Observe:
  Os lados A{d e B{c so congruentes; logo, podemos destacar o tringulo A{d{h e rearranjar
a figura _`[no adaptada_`] na forma de um retngulo. Veja:
  Note que a rea do paralelogramo  igual  rea do retngulo formado. Assim:

  rea do paralelogramo =bh

 Exerccios

<R+>
 _`[{para os exerccios 1 e 2, pea orientao ao professor_`]

 1. Uma folha de papelo tem a forma e as
dimenses indicadas na figura _`[no adaptada_`]. Qual  a rea
dessa folha?
 
 2. No paralelogramo A{b{c{d 
  _`[no adaptado_`], A{n==N{d. 
  Considerando =1,41, determine:
 a) a medida x indicada.
 b) a rea do paralelogramo A{b{c{d.
 c) a rea do tringulo A{n{d.
 d) a rea do quadriltero B{c{d{n.

 rea de uma regio limitada por um losango (ou rea do 
  losango)
<R->

  A figura _`[no adaptada_`] representa um losango M{n{p{q:
  Nesse losango:
<R+>
 o ^c?M{p*  a diagonal maior, cuja medida indicaremos por D.
 o ^c?N{q*  a diagonal menor, cuja medida indicaremos por *d*.
<R->

<303>
  Observe:
  A rea do losango M{n{p{q 
 _`[no adaptado_`]  a metade da rea do retngulo cujas dimenses so as medidas das diagonais do losango.
  Ento: 

  rea do losango =?{dd*2 

 Exerccios

<R+>
 _`[{para os exerccios 1, 4, 6 e 8, pea orientao ao 
  professor_`]

 1. Determine a medida x indicada no losango e calcule a rea da figura _`[no adaptada_`].
 2. Voc quer fazer uma pipa em forma de losango
e tem varetas que medem 75 cm e 50 cm.
Quantos centmetros quadrados de papel de
seda voc vai usar para fazer essa pipa?
 3. Em um losango, cada lado mede 30 cm. Sabendo
que a diagonal maior mede 48 cm, determine
a rea desse losango.
 4. Quantos centmetros quadrados de vidro
seriam gastos para fazer um vitral colorido, na
forma de losango, com as medidas indicadas
na figura _`[no adaptada_`]?
 5. As medidas das diagonais de um losango
correspondem  soluo do sistema a seguir.

 x+y=31 e 5x-y=11
 
 Determine a rea desse losango.
 6. Usando as razes trigonomtricas num
tringulo retngulo, determine as medidas x e y
indicadas na figura _`[no adaptada_`], dadas em centmetros. Em
seguida, determine a rea do losango A{b{c{d.
<p>
 7. Sabendo que as medidas das diagonais de
um losango correspondem s razes da equao
x2-13x+40=0, determine a rea desse
losango.

<304>
 8. O quadriltero A{b{c{d _`[no adaptado_`]  um losango no qual est inscrita uma circunferncia de raio 2 cm.
  Sabendo que O{a=x e O{b=y, determine:
 a) as medidas x e y.
 b) a rea do losango A{b{c{d.

 rea de uma regio limitada por um trapzio (ou rea do 
  trapzio)
<R->

  Observe o trapzio E{f{g{h:

<p>
<F->
            H     b    G
            ^cccccccccc       
          ^                   
        ^                     
      ^                   h   
    ^                         
  ^                           
 }---------------------------u 
E             B             F
<F+>

  Nesse trapzio:
<R+>
 o ^c?E{f*  a base maior, cuja medida indicamos por B.
 o ^c?G{h*  a base menor, cuja medida indicamos por *b*.
 o A distncia entre as bases  a altura do trapzio, cuja medida indicamos por *h*.
<R->
  Se traarmos a diagonal ^c?E{g*, obteremos dois tringulos, E{f{g e E{g{h, que tm a mesma
altura *h*. Assim:

<R+>
 rea do trapzio = rea do tringulo E{f{g + rea do tringulo E{g{h
 rea do trapzio =Bh2+bh2
 rea do trapzio =?Bh+bh*2
<R->
<L>
  Ento: 

   rea do trapzio =?h`(B+b`)*2
  
<305>
 Exerccios

<R+>
 _`[{para os exerccios a seguir, pea orientao ao professor_`]

 1. Considerando que as medidas do trapzio _`[no adaptado_`]
so dadas em centmetros, determine
a rea desse trapzio.
 2. No trapzio retngulo
a seguir, as medidas
so indicadas em centmetros.
Determine a
rea desse trapzio.

<F->
              10
      cccccccccccccpcc
                   l_-_
                   v--#
                      _ 7
                   pcc
                   l_-_  
-------------------v--#
            13
<F+>
<L>
 3. Qual  a rea do trapzio retngulo cujas
medidas, em centmetros, esto indicadas na
figura?

<F->
   10
+:::::::+
l_-_     k        
v--#     k        
l        k   13       
l       hk          
+::     +:: 
l_-_     l_-_  
v--#-----v--#---u
      15
<F+>

 4. Um terreno tem a forma de um trapzio de
bases 35 m e 24 m e altura 22 m. Nesse terreno,
foi construda uma piscina retangular de
10,5 m por 6 m. No restante do terreno, colocou-se 
grama. Qual a rea da parte do terreno
que foi gramada?
<p>
 5. Feito o levantamento de um terreno, foram
obtidos os dados indicados na figura _`[no adaptada_`]. Qual  a
rea desse terreno?
 6. Uma conveno dever ocorrer em um ginsio
de esportes cuja rea  delimitada por
um retngulo, conforme o desenho _`[no adaptado_`]:
  Excluindo-se a rea ocupada pelo palco, que
tem a forma de um trapzio (veja as dimenses
da parte colorida de amarelo na figura)
e sabendo que, por segurana, a coordenao
do evento limitou a concentrao, no local, a
5 pessoas para cada 2 m2 de rea disponvel,
quantas pessoas, no mximo, podero participar
do evento?
 7. No trapzio retngulo a seguir, determine a
medida x indicada e a rea.

<p>
<F->
         D      20      C
         ccccccccccccpcc
         _            l_-_
         _            v--#
  15    _               _ 
         _ 12           _ 
         _            pcc
         _            l_-_  
A-------#------------v--#
  r:::::::w               B
      x                                 
<F+>

 8. Na figura _`[no adaptada_`], A{b{c{d  um trapzio, e A{e{c{d 
um paralelogramo. As medidas indicadas so
dadas em centmetros.
  Nessas condies, determine:
 a) a medida x.
 b) a rea do trapzio A{b{c{d.

               ::::::::::::::::::::::::

<306>
<p>
 54 -- Usando a malha 
  quadriculada para calcular a rea de uma figura plana 
  qualquer
<R->

  Consideremos a figura plana 
 _`[no adaptada_`], colorida de azul, na malha quadriculada.
  Veja como podemos calcular a rea dessa figura.
<R+>
 1 passo: Contamos o nmero de unidades da malha contidas totalmente na regio A1.

 A1=11u

 2 passo: Contamos o menor nmero de unidades da malha que envolve totalmente a regio A2.

 A2=28u

 3 passo: Calculamos a mdia aritmtica entre as duas quantidades de unidades contadas na malha.

 rea =?11u+28u*2=39u2=
  =19,5u
<R->

  Se a unidade *u* de rea vale 100 km2, por exemplo, a rea da figura considerada ser
19,5`(100`), ou seja, 1.950 km2. 

<307>
 Exerccio

  Considere a regio colorida de roxo no desenho da malha quadriculada _`[no adaptada_`]. Usando a unidade *u*
assinalada, qual  a rea dessa regio?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<p>
 Tratando a informao

 wr Geografia

 A moda

<R+> 
 1. Observe a tabela: 

 _`[Tabela: "Nmero de municpios dos estados da Regio Norte" adaptada em 2 colunas_`]
 Legenda:
 1 coluna: Estados da regio Norte
 2 coluna: Nmeros de municpios

<p>
 !::::::::::::::::::
 l 1        _ 2  _
 r::::::::::::w::::::w
 l Acre      _ 22  _
 l Amap     _ 16  _
 l Amazonas  _ 62  _
 l Par      _ 143 _
 l Rondnia  _ 52  _
 l Roraima   _ 15  _
 l Tocantins _ 139 _
 h::::::::::::j::::::j

 Fonte: ~,www.ibge.gov.br~,
  Acesso em: 9 fev. de 2009.

 O nmero de municpios corresponde  frequncia de cada estado.
  Note que Roraima  o estado de menor frequncia, ou seja, com o menor nmero de municpios.
  O dado pesquisado que tem a maior frequncia  chamado moda, que  uma medida estatstica.
  No caso da tabela, o estado modal (ou a moda)  o Par, pois  o estado que tem o maior nmero de
municpios, ou seja, aquele que tem a maior frequncia.
  Esse fato tambm pode ser determinado em um grfico, como o a seguir.
<308>

 _`[{para os itens *a* e *b*, pea orientao ao professor_`]

 a) Observe o grfico de barras _`[no adaptado_`], construdo com os mesmos dados da tabela da pgina anterior,
e explique como encontramos a moda nesse tipo de grfico.
 b) Represente os dados da tabela em um grfico de setores e explique como podemos determinar a moda nesse tipo de grfico.
 c) Veja a tabela a seguir.

 _`[{tabela "Nmero de municpios e rea ocupada pelos estados da Regio Norte" adaptada em trs colunas: Estados -- Nmero de 
<p>
  municpios -- rea (em km2)_`]
 Acre -- 22 -- 152.581,39
 Amap -- 16 -- 142.814,59
 Amazonas -- 62 -- 1.570.745,68
 Par -- 143 -- 1.247.689,51
 Rondnia -- 52 -- 237.576,17
 Roraima -- 15 -- 224.298,98
 Tocantins -- 139 -- 277.620,91

 Fonte: ~,www.ibge.gov.br~, 
  Acesso em: 9 fev. 2009.

 Considerando a distribuio desses estados por nmero de municpios, podemos dizer que o estado
modal  o que tem maior rea? E o estado que tem menor rea,  o que tem o menor nmero de
municpios? Justifique suas respostas.

<p>
 2. Observe a tabela.

 _`[{tabela: "Pecuria nos estados da regio Sul (2007)" adaptada_`]
 Estado da Regio Sul: Paran
  Efetivo dos Rebanhos (cabeas)
 Sunos: 4.735.956
 Muares: 47.503
 Coelhos: 36.546

 Estado da Regio Sul: Santa Catarina
  Efetivo dos Rebanhos (cabeas)
 Sunos: 7.156.013
 Muares: 2.238
 Coelhos: 34.678

 Estado da Regio Sul: Rio Grande do Sul
  Efetivo dos Rebanhos (cabeas)
 Sunos: 5.197.008
<p>
 Muares: 4.393
 Coelhos: 98.667  
 _`[{fim da tabela_`]

 Fonte: ~,www.ibge.gov.br~,
  Acesso em: 9 fev. 2009.

 a) De acordo com a distribuio indicada nessa tabela, qual  o estado modal na criao de sunos?
 b) Qual  a moda entre os estados na criao de coelhos?
 c) Na regio Sul, qual o estado que tem a maior criao de muares? Que tipo de animal so os muares?

<309>
 Retomando o que aprendeu

 _`[{para os exerccios a seguir, pea orientao ao professor_`]
<R->
 
  Responda s questes em seu caderno.
<R+>
 1. (Saresp) Amlia deseja ladrilhar sua cozinha
retangular de 3,45 m por 4,2 m com ladrilhos
quadrados de 30 cm de lado. Qual  o nmero
de ladrilhos necessrios?
 a) 49 
 b) 51 
 c) 161 
 d) 483

 2. (Saresp) A rea do losango inscrito no retngulo _`[no adaptado_`]
 20 m2. A diagonal menor do losango
tem 5 m. Portanto, sua diagonal maior mede:
 a) 10 m 
 b) 8 m 
 c) 6 m
 d) 5 m

 3. (Saresp) Na figura h dois quadrados. A rea
do quadrado maior  25 m2 e ^c?B{g* mede 2 m.

<p>
<F->
 E         F
  pccccccccc
  l     C  _
Dpccccc   _
  l     _   _
  l     _   _
  v-----#---#
 A     B  G
<F+>

 A rea da regio pintada de azul :
 a) 16 m2 
 b) 21 m2 
 c) 9 m2
 d) 18 m2

 4. (Saresp) Se para cobrir cada m2 de telhado
so usadas 20 telhas francesas, ento, para cobrir
um telhado com as dimenses indicadas
na figura 
  _`[no adaptada_`], sero necessrias:
 a) 1.000 telhas. 
 b) 1.200 telhas. 
 c) 1.600 telhas.
 d) 1.800 telhas.

 5. (Saresp) Observe as figuras _`[no adaptadas_`]. Sabendo-
  -se que a caixa tem 17 cm de comprimento,
5 cm de largura e 24 cm de altura, o papelo
necessrio para montar essa embalagem ter:
 a) 2.040 cm2 
 b) 1.226 cm2 
 c) 1.106 cm2
 d) 1.056 cm2

 6. (FGV) Na figura, ^c?A{b*_l^c?C{d*, A{b=6 cm,
A{d=4 cm e os ngulos internos de vrtices A
e B tm as medidas indicadas.

<F->
    D   C
     ccc            
                    
                  
                 
 -----------u    
A           B
<F+>

 _`[:A=60; :B=60_`]

 A rea do quadriltero A{b{c{d, em centmetros quadrados, :
 a) 3 
 b) 23 
 c) 43 
 d) 63
 e) 83

 7. A{b{c{d  um quadrado, e M, N, O, P so pontos
mdios dos seus lados. Qual a frao que a
rea do quadrado verde representa da rea do
quadrado A{b{c{d _`[no adaptado_`]?
 a) 12
 b) 13
 c) 14
 d) 15
 e) 23

<310>
 8. Um retngulo tem 15 cm de comprimento
por 8 cm de largura. Vamos aumentar as medidas
dos lados desse retngulo em 50%. Qual 
a razo entre a rea do novo retngulo e a rea
do retngulo inicial?
<p>
 a) 49
 b) 94
 c) 29
 d) 92
 e) 4

 9. Qual  a rea de um tringulo retngulo no
qual a altura relativa  hipotenusa determina
sobre essa hipotenusa segmentos que medem
32 cm e 18 cm?
 a) 100 cm2 
 b) 200 cm2 
 c) 300 cm2
 d) 400 cm2
 e) 600 cm2

 10. Uma faixa retangular de tecido medindo
7 m por 1,05 m dever ser totalmente recortada
em quadrados, sem deixar sobras. Todos
os quadrados devem ter o mesmo tamanho, e
cada quadrado dever ter 0,35 m de lado. Nessas
condies, quantos quadrados devero ser
obtidos?
<p>
 a) 70 
 b) 60 
 c) 54
 d) 50
 e) 45

 11. De uma madeira quadrada com 80 cm
de lado ser recortada a pea colorida de verde,
cujas medidas esto indicadas na figura _`[no adaptada_`].
  Quantos centmetros quadrados dessa madeira
restaro aps esse recorte?
 a) 2.500 
 b) 2.600 
 c) 2.700
 d) 2.900
 e) 3.600

 12. A, B, C e D so os vrtices de uma regio
retangular, conforme mostra a figura. Considere
que as medidas indicadas so dadas em quilmetros.

<p>
<F->
   D     20     C
    o:::::::::::o
    l             _
12 l             _
    l             _
    l             _
    o-----------o
   A             B 
<F+>

 Se a densidade demogrfica dessa regio  de
72 habitantes por km2, qual  a populao dessa
regio?
 a) 17.100 habitantes. 
 b) 17.200 habitantes. 
 c) 17.280 habitantes.
 d) 17.300 habitantes.
 e) 17.380 habitantes.

 13. No quadrado A{b{c{d
da figura _`[no adaptada_`], o ponto M  ponto
mdio do lado ^c?A{b*.
  Nessas condies, qual  a
rea do trapzio M{b{c{d?
 a) 40 cm2 
 b) 50 cm2 
 c) 54 cm2
 d) 60 cm2
 e) 64 cm2

 14. Uma folha de tamanho A0 tem medidas
841 mm por 1.189 mm. Dobrando-se ao meio
a folha A0, obtemos a folha de tamanho A1;
dobrando-se a A1 ao meio, obtemos a folha de
tamanho A2 e assim por diante, como mostra a
figura _`[no adaptada_`]:
  Qual  a rea, em cm2, de uma folha de papel
tamanho A4?
  Obs. Ao obter a metade de uma medida, em
mm, considere apenas a parte inteira do resultado.
 a) 1.247,4 
 b) 2.494,8 
 c) 62.370 
 d) 623,7
 e) 310,8
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

 Fim da Stima Parte